10.1 定積分定義

 

     
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10-1 定積分定義                    

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一、定積分之定義

 

已知函數  定義在區間  內為連續函數。

假設  曲線下,軸之間所圍面積為,則真正值如何求得?

 

 

04_integration-10.gif

 

首先在區間  內取n個子區間,其間座標點為

其相鄰兩點間之差,即為各子區間之寬度

先取各子區間之最小函數值,假設分別為

子區間面積和:

稱之為面積之下和,且可知,

若取各子區間之最大函數值,假設分別為

各子區間面積和:

稱之為面積之上和,且可知,

綜合上式,得 

或 

 

 

 

二、黎曼和單重定積分

 

因已知定義在區間內為連續函數,故當子區間個數n ,取得越大, 則稱之為面積之上、下和值會越來越接近,即當n值趨近於無窮大,亦即

若上式中     

則依三明治定理知,真正面積   

因上式中極限值,若存在的話,則在每一子區間內任取一點函數值,當子區間高度,所計算得之面積,應會得相同結果,故為簡單計,定義函數定積分式如下:

黎曼單重定積分定義   

 

 

 

 

【分析】常用級數和公式

1.         

2.         

3.         

 

 

 

 

 

 

 

 

1.計算黎曼和,已知 

 

 

 

   

所以

   

 

 

 


 

2.利用黎曼和計算

 

取  

所以 and

 

 

 

 

 


 

3.利用黎曼和計算

取  

所以 

得 


 

 

4.,求

 

 

整理

  

得 

          

  

得 


 

練習題:求

 

上式為平面圓方程式,半徑

 

                 

 

則積分值為半圓之面積

 


 

 


 

 

5. Evaluate the Riemann Sum  for with  taking the sample points to be left endpoints.

 

解答:

Let

   

Using left endpoints  

        

 

 

                     

 

 

 

 

6. Evaluate the Riemann Sum  for with  taking the sample points to be right endpoints.

 

解答:

Let

   

Using left endpoints   

          

 

 

 

                           

 

 

 

   

7. Evaluate the approximate integral for  of  taking the sample points to be midpoints endpoints.

 

解答:

Let

   

The end points are 2,4,6,8 and 10.

The midpoints endpoints are 3,5,7 and 9.

The midpoints rule

            

 

 

 

 

8.Evaluate the approximate integral for  of  taking the sample points to be midpoints endpoints.

 

解答:

Let

   

The end points are 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1.

The midpoints endpoints are 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 and 0.9.

The midpoints rule

            

 

 

 

  

9. Evaluate the approximate integral for  of  t taking the sample points to be midpoints endpoints.

 

解答:

Let

   

The end points are 0, , , , and.

The midpoints endpoints are , , , and

              

 

 

 

 

10. Evaluate the approximate integral for  of  taking the sample points to be midpoints endpoints.

 

解答:

Let

   

The end points are 1,2,3,4 and 5.

The midpoints endpoints are 1.5, 2.5, 3.5 and 4.5.

The midpoints rule

         

 

 

 

 

 

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上次修改此網站的日期: 2010年05月16日