11.1有理式函數積分

 

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11.1有理式函數積分
11.2 無理式函數積分

 

         

11-1 有理式函數之積分                     

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                 一、 真分式型

 

(1).分母為一次式:

凡積分式如下所示:

    

基本積分公式

   1.

   2.

(2).分母為一次式重根:

積分式如下所示:

 

      

化成

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3).分母為二次式且不能因式分解:

已知有理式函數之積分式,如下:

( a.)之積分

提出常數,得

,得

 ( b.)之積分

利用二項式配方,

,則


 

(4).含分母二次式之積分〈不可分解因式〉分子n

已知有理式函數之積分式,如下:

(5).含分母二次式之積分〈二次式可分解因式〉

已知有理式函數之積分式,如下:

 ( a.)

方法1公式法

方法2部分分式法

分解因式     

部分分式展開 

積分         

   ( b.) 

利用二項式配方得

其中

 

 

 

 

 

 

 

二、可拆解為部分分式型

 

 ( 1.)當分母可分解成一次式因式之重複因式時。亦即部分分式展開得

直接積分得

其中係數以比較係數法得到,如下

等式兩邊同乘,得

將右式展開後與左式比較係數即可求出

 ( 2.)分母可分解成一次式及二次式之乘積時。亦即亦即部分分式展開得

積分,得

其中係數以比較係數法得到,如下

等式兩邊同乘,得

將右式展開後與左式比較係數即可求出

 

 

 

 

 

 

三、變數代換法

 

(1).若積分式中,含有下列二次式者,可以採用適當之三角函數代換法積分。

1.項者,令

代入化簡

2.項者,令 

代入化簡

3.項者,令 

代入化簡

(2).若積分式中,含有高次多項式函數者,可以採用適當之變數代換法積分。


 

 

1.計算


 

 

 

 

2.計算


 

 

 

 

 

 

3.計算

在令

                                         

 


 

 

4.計算


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Evaluate the integral  .

 

 

Solution :

                       

                                                  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Evaluate the integral .

 

 

Solution :

        

      

      

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Evaluate .

 

 

Solution :

         

       

       

       

        .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Evaluate the integral .

 

 

Solution :

           Let   

      

      

      

        Let  

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Evaluate .

 

 

Solution :

       

     

    

     .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題:計算

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