12.1三角函數之積分

 

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12-1三角函數之積分                   

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當結合一些有用的三角痤它﹞峊N換法時,可以求出更多含有三角函數型式的積分,以下是幾種常見的類型:
1.

1為正奇數:可利用變數變換,提出後,再利用痤它
                

 

     為正整數)

     化簡得

     ,得

     再利用羃函數之積分公式即可。

 

 


 

1.

 

 

解答:       

                            提出

                       作轉換

                  展開           提出負號,將改寫成

       利用變數變換

                   將不定積分求出

                  代回式子

 

 

 

 

 

 

2正偶數:利用三角函數半角公式


已知      

代入      

        

 

 

 


 

2.

解答:

     

                    利用半角公式

                展開

       再用一次半角公式

    將被積分式化簡

      將被積分式提出

        計算不定積分

 

 

 

 

 

2.

1為奇數:
    
可利用變數變換,將奇次方提出後,再利用痤它
    


 

 


 

3.

解答:

                  提出

           作轉換

        展開

        提出負號,將改寫成

    利用變數變換

                 計算不定積分

                  代回式子

  

 

 

 

 

2皆為偶數:
    
利用三角函數半角公式

       


 

4.

解答:

                        利用半角公式  

              展開

      提出

    

           利用三角痤它

              將被積分式展開

   計算不定積分

  

 

 

 

 

 

 

 

3.
    
利用積化和差公式:
    

    
    

 

 

 


 

5.

 

解答:
                利用

         計算不定積分

 

 

 

 

 

 

4.
     利用三角函數痤它

 

6.

 

解答:

         利用三角函數痤它

    計算不定積分

 

 

 

 

 

 

 

7.

解答:

                 利用三角函數痤它

        將被積分式展開

    

   變數變換令

          將不定積分求出

=       代回式子

 

 

 

 

 

 

 

5. 為偶數或為奇數)
1)當為偶數時型可先分出,及
     變數變換再化簡

 

 

 

 

 

 

 

8.

解答:

                  改寫成

          利用

        展開

         變數變換,令

                  求出不定積分

                  代回式子

 

 

 

 

2)當為奇數型可先分出
    
及變數變換
再化簡

9.

解答:

                先分出

       利用三角痤它

    變數變換

                  將被積分式展開

                   將不定積分求出

                 代回式子

 

 

 

 

 

 

 

6
   
;或
   
再代入分部積分公式,即

 

 

 

 

 

10.

解答:

                    利用分部積分

     求出不定積分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題1.  

解答:

                     提出

                作轉換

            提出負號,將改寫成

         

                  將不定積分求出

                  代回式子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題2.  

解答:

      三角函數性質

      積化和差

   求出不定積分

 

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