12.2反三角函數之積分

 

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12-2 反三角函數之積分                    

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積分技巧方法(一):

變數代換法- 化成基本公式

 

1.     

2.     

1.

 

解:

        用變數代換法將轉成

             多項式積分

            積分後將代回的式子

 

 

 

 

 

 

 

 

積分技巧方法(二):

根據反三角函數定義,轉回三角函數形式後再積分。

 

若含有之積分

可令

 

若含有之積分

可令

 

若含有之積分

可令

 

 

 

 

 

 

2.

 

解:

                   先轉成三角函數形式

                 三角函數之積分

           積分後將依三角函數之定義,轉回的式子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

解:

                   先轉成三角函數形式

               指數函數積分

          積分後將依三角函數之定義,轉回的式子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

積分技巧方法(三):

分部積分法

 

4.

 

解:

                    分部積分

        改寫成     

   變數變換,令

          積分       

        積分後將依三角函數之定義,轉回的式子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Evaluate  .

 

 

Solution :

        Let   

       

     

        Let     

             

     

     

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Evaluate  .

 

 

Solution :

       

        Let   

       

     

     

     

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Evaluate  .

 

 

Solution :

  

       

     

     

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find  .

 

 

Solution :

        Let     

       

     

     

      

       .

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題: 求

解:

根據反三角函數定義,轉回三角函數形式後再積分。

        代入

    三角恆等式

      

            分部積分

       求出不定積分(基本公式)

     代回

 

 

 

 

 

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