13.1平面積之計算

 

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13-1 平面積之計算                        

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1. 軸上方的區域

平面上決定一條曲線,且上為非負連續的。

所圍成的區域,其面積

 

 


 

1. 求由軸所圍成區域的面積

 

 

解答:       

    

 

 

 

 

 

2. 軸下方的區域

的圖形在軸的下方上為連續的。

所圍成的區域,其面積

2. 求由軸所圍成區域的面積

 

 

解答:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

3. 求由軸所圍成區域的面積。

 

 

解答:

區域如圖所示,注意有一部分在軸的上方,一部分在下方,這兩部分的面積必須分開計算,我們看出曲線經過軸上的

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

兩曲線間的區域

 

兩條曲線,在時,

我們用切片、近似、積分的方法球出其面積,

如圖,切片面積

 

 

 

 

之間所圍成區域面積為

 

 


 

4. 求介於曲線之間的區域面積。

 

 

 

先求兩曲線的交點,

畫出所求區域(如圖)。                        

 

 

 

 

 


 

5. 求曲線之間的區域面積。

 

 

 

解:

先求兩曲線的交點,

交點為

若做垂直切片,時,

切片之上界限與下界限皆為拋物線

 

 

 

因此垂直切片不適用,改用水平切片。                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Find the area of the regions enclosed by the lines and curves of the equations

    and  and below by the x-axis.

 

 

Solution :

The regions right-hand boundary is

        The regions left-hand boundary is

        The common point of the two lines is

        The area is

         .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find the area of the regions enclosed by the lines and curves of the equations

    and  between  and .

 

 

Solution :

        The area is

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find the area of the regions enclosed by the lines and curves of the equations

    and  between  and .

 

 

Solution :

        The area is

       

         

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find the area of the regions enclosed by the lines and curves of the equations

    and  .

 

 

Solution :

        The area is

            Let

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題.  求三直線所圍成區域之面積。

 

 

解答:

 

 

 

如圖

的交點為

的交點為

的交點為

所圍成區域即為藍色區域和紅色區域

 

此題若採用垂直切片:

 

在藍色區域(即),

為上界,為下界。

 

在紅色區域(即),

(即)為上界,

為下界。

 

 

因此

    所求面積=藍色區域面積+紅色區域面積

          化簡被積分式

               計算定積分

                  所求面積為2

 

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