13.2極座標平面積之計算

 

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13-2 極座標平面面積之計算                  

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為平面上的一曲線,為一連續非負的函數,

曲線圍成一區域

將區間分割成個小區間,且

區域切成個小區域……,如下圖所示

因此面積

又每一小區域面積近似於扇形面積

 


 

 1. 求極座標所包圍之面積。

 

 

解答:       

           代入面積公式

               展開

        二倍角公式

    求定積分

    即為所求

 

 

 

 

 

 


 

2. 求四瓣玫瑰線之一瓣的面積。

 

 

 

         展開

       二倍角公式並將係數化簡

         分項積分

    計算定積分

 

 

 

 


 

3. 求極座標 所包圍之面積。

 

 

解答:

  代入面積公式

         展開

       二倍角公式

    求定積分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.  Find the area of the region that lies inside the circle  and outside the cardioid

    .

 

 

Solution :

        The outer boundary is  and the inner boundary is

        The area is

       

         

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      Find the area of the region common to the two given regions

    and  .

 

 

Solution :

        We can find  ,when  and  , when

        The area is

       

         

         

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find the area of the regions enclosed by the line  and the curve

    .

 

 

Solution :

        We can find  , when  ,  and  , when

         .

        The area is

       

         

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find the area of the region bounded by the graph of the equation  .

 

 

Solution :

          

        The area is

       

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find the area of the region bounded by the graph of the equation

Solution :

        Let   

        then   

        The area is

       

         

         


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題. 求極座標所包圍之面積。

 

 

解答:

     代入面積公式

                 求定積分

    (此即圓面積公式)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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