13.3旋轉體積之計算

 

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13-3 旋轉體積之計算                    

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◎利用積分求體積

 

如圖,我們可利用切片、近似、積分的方法求體積

每一個垂直於一給定直線的截面積皆有已知面積

若此直線為軸,在點上的截面積為

通過……的平面皆垂直於軸,

 

將此立體切片切成與多薄片,

 

 

每一薄片的體積為

由黎曼和可得到整個體積

因此

 

 


 

◎旋轉體積之計算

 

方法一:圓盤法(Method of Disks

當一個平面區域全部位於一固定直線的一側時,它可以繞此直線旋轉,形成一個旋轉體,這條固定的直線被稱為此旋轉體的軸。


 

1. 求由軸及直線所圍成的區域,   軸旋轉所形成旋轉體的體積。     

 

 

解答:  

 

 

題意即左圖區域繞軸旋轉所形成之旋轉體(右圖)體積。

將右圖旋轉體做切片,

則切片體積

積分

 


 

2. 求由軸及直線所圍成的區域,   軸旋轉所形成旋轉體的體積。

 

 

解答:

 

 

將右圖旋轉體做切片,

則切片體積

積分

 

 

 

 

 

  

 

 

方法二:墊圈法(Method of Washers

若將一旋轉體切片所得出的圓盤中間為一個孔洞,稱為墊圈,如下圖所示。

 

 

切片體積

為切片截面積、

為圓盤外側半徑、

為圓盤內側(孔洞)半徑

為切片圓盤厚度

 

 

 

 


 

3. 求由及直線所圍成的區域,繞旋轉所形成旋轉體的體積。

 

 

解答:

 

 

如左圖,其藍色部份即為切片之墊圈。

由右圖,可知其切片墊圈之截面積為

切片體積為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法三:圓柱殼法(Method of Shells

 

考慮如右圖的藍色區域,若繞軸旋轉,則形成一個旋轉體。

若將此旋轉體用圓柱殼法做切片,

則切片體積

 


 

4. 求由及直線所圍成的區域,繞軸旋轉所形成旋轉體的體積。

 

 

 

解答:

的交點為

如圖,由圓柱殼法,切片的高度

切片體積

積分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Find the volume of the solid generated by rotating about the x-axis the region bounded by the graph of  , the x-axis , and the line  .

 

 

Solution :

        The volume is

       

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      The region bounded by the curve  and the line  is revolved about the x-axis to generate a solid. Find the volume of the solid.

 

 

Solution :

        We can find the x-coordinates of the intersection points of the curve and line

          

         ,

        The volume is

       

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      The region bounded by the curve  and x-axis , y-axis is revolved about the x-axis to generate a solid. Find the volume of the solid.

 

 

Solution :

       

        The volume is

       

         

        Let     

       

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      The region bounded by the curve  and x-axis , y-axis is revolved about the y-axis to generate a solid. Find the volume of the solid.

 

 

Solution :

        The volume is

       

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      The solid lies between planes perpendicular to the x-axis at  and . The cross-sections perpendicular to the x-axis are circles whose diameters stretch from the curve  to the curve  . Find the volume of the solid.

 

 

Solution :

        The volume is

          Let

         

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題.  求由、直線軸所圍成的區域,
        
軸旋轉所形成旋轉體的體積。

 

解答:

 

由圓柱殼法

切片體積

積分

 

 

 

 

 

 

 

 

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