13.4曲線長之計算

 

首頁
13.1平面積之計算
13.2極座標平面積之計算
13.3旋轉體積之計算
13.4曲線長之計算
13.5旋轉曲面面積計算

 

 

13-4 曲線長之計算                       

  講義    教學影音檔    進階題-題目      進階題 答案        考古題-題目       考古題答案

本節主要討論的問題,由參數式所代表的平滑曲線的長度。

 

將區間分割成個子區間,由點所組成,將此曲線分成段,端點為……,如圖所示。

若將此曲線分割越細(越大),

越接近曲線的實際長度。

因此曲線長度為

由微分均值定理可得,存在點

使得,其中

因此

 

 

 


 

 1. 求圓的周長

 

 

解答:       

圓的方程式可用參數式來表示:

周長    代入

    將根式內展開化簡

      利用三角恆等式將根式內做化簡

                    計算 的定積分

 


 

2. 求出由參數式所表示曲線的長度。

 

 

解答:

  ====代入

       將根式內展開化成

          化成

           利用  

       ,則,當

            做積分

            將定積分求出

           即為所求曲線之長度

 

若曲線給定為,則可將視為參數

 

若曲線給定為,則可將視為參數

 

 

 

 

 

弧長的微分

上連續可微分,

,定義

表示曲線由點的弧長

由微積分第一基本定理可得

因此為弧長的微分,可寫成

依圖形參數化的不同而定,可得到的三個公式

 


 

3. 求曲線 ,由之弧長。

 

 

解答:

曲線長公式

    =代入

      將根式做化簡

          的定積分    

           即為所求曲線之長度

 


 

4. 求曲線 介於之間的弧長

 

 

解答:

   =代入

     將根式做化簡

           求定積分  

          再做化簡

           即為所求曲線之長度

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 5.   Find the arc length of the graph of  from point  to the point  .

 

 

Solution :

       

        The length is

       

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find the arc length of the graph of .

 

 

Solution :

        Let   

        The length is

       

            Let

            Let

         

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find the arc length of the graph of  in .

 

 

Solution :

        The length is

       

         

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find the arc length of the graph of  ,  .

 

 

Solution :

       

        The length is

       

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find the arc length of the graph of  ,   .

 

 

Solution :

       

         

         

             Let

         

         

         

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題1. 曲線的弧長。

解答:

 

       ==代入

             將根式內式子展開並化簡

                     將根式內式子寫成完全平方式

                   

                      

                     計算定積分

                  12即為所求曲線之長度

 

 

 

 

 

 

 

練習題2. 求曲線之長度

 

 

解答:

            先求出

    曲線長公式

              代入曲線長公式

             將根式內式子展開

                將根式化簡

                  

         計算定積分

              即為所求曲線之長度

 

 

首頁 | 13.1平面積之計算 | 13.2極座標平面積之計算 | 13.3旋轉體積之計算 | 13.4曲線長之計算 | 13.5旋轉曲面面積計算