13.5旋轉曲面面積計算

 

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13.5旋轉曲面面積計算

 

 

13-5 旋轉曲面面積之計算              

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若一平滑平面曲線在平面上繞一軸線旋轉,形成一旋轉體曲面。本節將討論其面積值。

 

其曲面面積近似於圓錐體平截頭錐體之側面面積

 

若此曲線為參數式形式

則曲面面積公式為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

1. 求由曲線軸旋轉曲面的表面積。

 

 

解答:       

 

   

 

    

     

          

            即為所求旋轉曲面的表面積。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

2. 求由曲線軸旋轉曲面的表面積。

 

 

解答:

 

   

      

      

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

3. 求由曲線軸旋轉曲面的表面積。

 

 

解答:

 

      代入旋轉曲面表面積公式(参數式)

             將根式化簡

                計算不定積分

                即為所求旋轉曲面的表面積。


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. 求由曲線軸旋轉曲面的表面積。

 

 

解答:

 

      代入旋轉曲面表面積公式(参數式)

                將被積分式常數提到前面

                  計算定積分

             

                    即為所求旋轉曲面的表面積。

 

 

 

 

 

 

5.  The standard parametrization of the circle of the circle of radius  centered at the point  in the xy-plane is  ,    . Use this parametrization to find the area of the surface swept out by revolving the circle about the x-axis.

 

 

Solution :

       

         

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find the area of the surface generated by revolving the curve ,  about x-axis.

 

 

Solution :

       

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find the area of the surface generated by revolving the curve

   ,    about y-axis.

 

 

Solution :

       

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find the area of the surface generated by revolving the curve

   ,  about y-axis.

 

 

Solution :

          

       

         

           .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題. 求由曲線軸旋轉曲面的表面積。

 

 

解答:

 

             代入旋轉曲面表面積公式

      

            將被積分式展開

                計算定積分

          即為所求旋轉曲面的表面積

 

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