14.1無界區間之瑕積分

 

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14.1無界區間之瑕積分
14.2無界函數之瑕積分

 

 

14-1 無界區間之瑕 積分               

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在前面章節計算定積分,是假設區間為有限,

在本節要介紹當時的積分,

這些積分稱為含有無窮大界限的瑕積分(improper integral

            例:,含有無窮大界限。

 

                   


 

 

一、含一個無窮大界限的瑕積分

 

定義

若其極限值存在,則稱瑕積分為收斂(converge),否則稱為發散(diverge)。

 

 
 

1.

 

 

解答:       

                          有理函數的積分技巧

             瑕積分定義

                     計算其極限值      

   

               

 

2.

 

 

解答:

                 提出           

         變數代換,令   

               瑕積分定義

           計算定積分

          求極限值

    

      

 

 

二、兩界限皆為無窮大的瑕積分

 

定義

皆為收斂,則稱收斂

=+,其中為任意實數

否則稱為發散

 

 

3.

 

 

 

解答:

            

                 根據含一個無窮大界限的瑕積分定義

          求及極限值

   =

   因為為偶函數,所以==

     故   =+=+=


 

4.

解答:

               根據兩界限皆為無窮大的瑕積分定義(取

     

 因為                                根據含一個無窮大界限的瑕積分定義

                                  求出定積分  

                    其極限值不存在(發散)

                      發散

  故  不存在

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      Find

 

解:

 

       

       

       

the integral is diverges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find

 

解:

 

        

        

        

the integral is diverges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find

 

解:

 

               

              

              

                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find

 

解:

 

           

           

           

           

the integral is diverges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find the area of the region under the curve  to the right of

 

解:

 

The area is

         

         

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題1.

解答:

                   根據含一個無窮大界限的瑕積分定義

               求出定積分並計算其極限值

   =

 

 

 

練習題2.

解答:

  不定積分   (可令

                 根據兩界限皆為無窮大的瑕積分定義

   =+   根據含一個無窮大界限的瑕積分定義

   =+   求出定積分

    =+   求其極限值

    =

 

 

 

 

 

 

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