14.2無界函數之瑕積分

 

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14.1無界區間之瑕積分
14.2無界函數之瑕積分

 

 

14-2 無界函數之瑕積分                  

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一、在某一端點為無窮大的被積分函數

定義

在半開區間上為連續且設

若此極限存在且為有限值,我們稱此積分收斂,否則,我們稱它為發散。

 

                          

 

1. 求瑕積分

解答:

                        在時趨近無限大

                            根據定義

                 求出定積分並計算其極限值

      

 


 

2. 求瑕積分

解答:

   時趨近無限大

                                  根據定義

                       求出定積分並計算其極限值

   

    故    發散

 

 

 

 

二、在內點為無窮大的被積分函數

 

定義

除了點外,在上連續,且設

兩個積分皆存在

否則,我們稱它為發散。

              

 

 

3. 求瑕積分

解答:

    時趨近無限大

    =+

    其中                    根據定義

                       求出定積分

             其極限值不存在

   故    發散

 

 

 


 

4. 求瑕積分

解答:

  時趨近無限大

                 根據在內點為無窮大的被積分函數定義

  =+     根據在某一端點為無窮大的被積分函數定義

  =+  求出定積分

 

  =+  計算極限值

  =

  

 

 

 

定理 (瑕積分比較判定法)

 

(1)   收歛,則收斂;

(2)   發散,則發散。

 


 

5. 試證收斂

 

 

解答:

,則    

由瑕積分比較判定法可得收斂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find

 

解:

 

       

       

       

the integral is diverges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find

 

解:

 

        

        

        

the integral is diverges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find

 

解:

 

           

           

           

 極限值不存在

因此此題積分值不存在,發散。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find

 

解:

 

           

           

           

the integral is diverges.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.  Find

 

解:

 

              

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

練習題.

解答:

  時趨近無限大

                  根據在內點為無窮大的被積分函數定義

  =+       根據在某一端點為無窮大的被積分函數定義

  =+         求出定積分

  =+       計算極限值

  ==

 

 

 

 

 

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上次修改此網站的日期: 2010年09月18日