16.2級數

 

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16-2 級數 (Series)

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1. 考慮,稱為一無窮級數(infinite series

 

2. 表示前項部分和(th partial sum),

 

3. 定義(收斂級數、發散之定義)

存在,則稱為收斂級數。

不存在,則稱為發散級數。

 

 

4. 幾何級數(等比級數)(Geometric Series ),定義如下:

 

其中:為首項,為公比(Ratio)

 

  

   

1. 證明一幾何級數其公比為,若,則幾何級數為收斂,其和為;若,則幾何級數為發散

 

1】若時,則,

     為發散

                                 1

乘上              2

1)式減(2)式可得

2】若

     

3】若

       為發散

  

  

定理A(判別級數發散性的項試驗法. th-Term for Divergence

若級數收斂,則

(若,則級數發散)

 

 

  

2.     證明發散

 

 

證明:

    分子分母同除以

 

項試驗法可得此級數發散。

 

 

3.     證明級數為收斂並求其和

 

 

解答:

改寫成

 

此級數收斂且其和為1

 

 

定理B(收斂級數之線性性質)

皆為收斂,且為一常數,則亦為收斂,且:

1

2

3

 

  

4.計算

 

 

解答:

   根據收斂級數之線性性質

   由幾何級數公式(r<1)可得

  

 

 

 

 

 

 

 

5.      Determine whether the series  is convergent or divergent, If it is convergent, find its sum.

 

 

 

解答:

 發散,since

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Determine whether the series  is convergent or divergent, If it is convergent, find its sum.

 

 

解答:

 發散 by the Test for Divergence since

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Determine whether the series  is convergent or divergent, If it is convergent, find its sum.

 

 

解答:

 is a geometric series with ratio .

因為  所以收斂

Its sum is

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Determine whether the series  is convergent or divergent, If it is convergent, find its sum

 

 

解答:

 ,收斂.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find the values of  for which the series converges. Find the sum of the series .

 

 

 

解答:

is geometric series with

因為收斂可知 所以可知

級數和

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  練習題

 

1. 求數列的極限。

 

 

解答:

因為

     

     

     由夾擠定理可得

     數列的極限值為0

 

 

2. 證明發散。

 

 

解答:

因為

 

      項試驗法可得此級數發散。

 

 

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