16.3比較審歛法

 

首頁
16.1數列
16.2級數
16.3比較審歛法
16.4其他審斂法
16.5冪級數
16.6泰勒與馬克勞林級數

 

                                                                            

16-3 積分與比較審歛法(Integral and comparison tests

  講義            教學影音檔   進階題-題目     進階題答案     考古題-題目     考古題答案

 

n項級數審斂法

(1)   若無窮級數為收斂,則

(2)   ,則無窮級數為發散。

 

 

有界和審斂法. (Boundary Sum Test )

一非負的級數收斂,若且唯若其部分和有上界。

 

 

  

1.      證明級數收斂。

 

 

證明:

     

     

     

      部分和有上界,由有界和審斂法可得此級數收斂。

 

 

定理 積分審斂法(Integral test )

假設上為連續、正項且遞減函數,設

(a) 假如收斂,則也為收斂。

 (b) 假如發散,則也為發散。

 

       

  

2.      判別收斂或發散。

 

 

解答:

為連續、正項且遞減函數,

 

          滿足積分審斂法的條件,

         

           由積分審斂法可得發散。

   

 

p-級數審斂法p-series test

級數稱為級數(為一常數):

1)若,則級數收斂。

2)若,則級數發散。

 

 

 

比較審斂法. ( Comparison test)

1)若收斂,則也收斂;

2)若發散,則也發散。

 

  

  

3.      判別斂散性。

 

    

    且級數為收斂

   

   由比較審斂法

    可得也收斂。

 

 

商數審斂法. (Quotient test

,且

(1) ,則同時收斂或發散;

(2) ,若收斂,則收斂。

(3) ,若發散,則發散。

 

 

  

4.      證明為發散。

 

 

解答:

級數審斂法可得發散,

由極限比較審斂法可得為發散。

  

比值審斂法. ( Ratio Test

為一正項級數且令

1)若,則此級數收斂;

2)若,則此級數發散;

3)若,則此審斂法無效。

 

 

根值審斂法(Root Test

1)若,則級數為收斂。

2)若,則級數為發散。

3)若,則無法判定。

 

 

 

5.      判斷的斂散性。

 

 

解答:

由比值審斂法可得收斂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      判斷的斂散性。

 

 

解答:

     

     由根值審斂法可得收斂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Use the integral test to determine  is convergent or divergent

 

 

 

解答:

所以發散

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Determine is convergent or divergent

 

 

 

解答:

 ,所以收斂 by comparison with the converge

p-series

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Determine is convergent or divergent

 

 

 

解答:

By Ratio Test

,發散            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Determine is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.

 

 

 

解答:

Use Root Test

,所以為絕對收斂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    練習題

 

1.     判斷的斂散性。

 

 

解答:

由積分審斂法可得發散。

 

 

2.     判斷的斂散性。

 

 

解答:

消去後得

由比值審斂法可得為發散

 

 

首頁 | 16.1數列 | 16.2級數 | 16.3比較審歛法 | 16.4其他審斂法 | 16.5冪級數 | 16.6泰勒與馬克勞林級數