16.4其他審斂法

 

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16-4 其他審歛法(Other convergence tests

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1. 交錯級數(Alternating Series):

,且

稱之為交錯級數。

 

交錯級數審斂法.  (Alternating Series Test

,且

滿足: (1) for all

(2)                 

則此級數收斂。

 

 

 

1.      證明級數收斂。

 

 解答:

     為調和級數,又,且

     由交錯級數審斂法可得級數收斂。

 

  

絕對收斂(Absolute  Convergence

收斂,則稱為絕對收斂。

 

 

 

2.      說明為絕對收斂。

 

解答:

    因為 為一收斂p-series (p=2)

    所以為絕對收斂

 

  

條件收斂(Conditional Convergence

為發散,但仍為收斂,則稱為條件收斂。

 

 

 

3.      說明為條件收斂。

 解答:

    由交錯級數審斂法可知為收斂

    但由p-級數審斂法可知為發散,

    因此為條件收斂。

  

絕對比值審斂法  Absolute Ratio Test

為一非零項的級數且令

1)若,則此級數絕對收斂;

2)若,則此級數發散;

3)若,則此審斂法無效。

 

 

  

4.      證明為絕對收斂。

 

 解答:

     項為

     

     由絕對比值審斂法可得為絕對收斂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.   Test the series for convergence or divergence

 

 

解答:

,取

為遞減且

By Alternating Series Test  收斂

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Determine the series  is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.

 

 

 

解答:

收斂By Alternating Series Test

但是,為發散,because  by p-series

此級數為條件收斂

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Determine the series  is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.

 

 

 

解答:

,所以為收斂because

By Comparison Test 因此, 為絕對收斂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Determine the series  is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.



 

 

解答:

By Ratio Test

此級數為絕對收斂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   練習題

 

1.    證明為絕對收斂。

 

 

解答:

    

      由絕對比值審斂法可得為絕對收斂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

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