16.5冪級數

 

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16-5 冪級數(Power series

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定義:

A power series about 具有下列形式:

 

A power series about 具有下列形式:

 

 

定理A

一冪級數的收斂集合恆為下列三種形式區間之一:

1)只有一點,級數為收斂;

2 對於數線上 all

3)有一正數為收斂半徑(radius of convergence,使得級數在為收斂,級數在為發散。

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      的收斂集合。

 

 解答:

            Use the Ratio test:

               

          由絕對比值審斂法可知在只在時收斂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.      的收斂半徑。

 

 解答:

由絕對比值審斂法可知若收斂,

        

                        由羅必達:

          時,收斂。   收斂半徑

  當故發散。

  當,為條件收斂。

  得收斂區間   

3. Find the radius of convergence and interval of convergence of

 

解答:

Use Ratio Test

   故收斂半徑為,收斂區間為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.      Find the radius of convergence and interval of convergence of

 

 

解答:

Use Ratio Test

   故收斂半徑為  

   代入  發散

   代入  收斂

   收斂區間為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Find the radius of convergence and interval of convergence of

                                                            

 

解答:

Let

Use Ratio Test

故收斂半徑為,收斂區間為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Find the radius of convergence and interval of convergence of

 

 

解答:

Let

Use Ratio Test

If 發散

If 收斂

故收斂半徑為,收斂區間為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     

 

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