16.6泰勒與馬克勞林級數

 

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16.6泰勒與馬克勞林級數

 

                  

16-6 泰勒與馬克勞林級數(Taylor and Maclaurin series

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已知單變數函數,

是否能找到使得

 

係數之推導:

                     

微分一次                  

                     

再微分一次              

                     

依此類推得

 

定理 

假如有一冪級數(power series) 的表示式:

係數

 

  

 

 泰勒級數(Taylor series of the function  at

 

,則稱為馬克勞林級數(Maclaurin Series):

 

 

泰勒公式 (Taylor’s  formula)

令對含有的某個開區間中之所有,函數階導數皆存在,

則對中每一

其中餘式(或誤差)為

為介於之間的某一點。

 

  

 

1.      的麥克勞林級數,並證明對所有,它可表示

 

解答:

    

     

     

     

     

                     

    

     

     

     因為 ,所以

     (由絕對比值審斂法可得),

     所以

     因此由泰勒定理可得,對所有,它可表示

  

 

 

 

 

2.      的麥克勞林級數,並證明對所有,它可表示

 

 解答:

     EX1

    

             

              

       

       所以

               

  

二項式級數 (The binomial series)

                

其中

 

3.      表成一麥克勞林級數,並求的近似值到小數第四位。

 

 解答:

           

     因此

 

 

常用的麥克勞林級數公式:

1

2

3

4

5

6

7   

8

9

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.  Find Maclaurin series for

 

 

解答:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Use the Maclaurine series for  to calculate  .

 

 

 

解答:

已知  因為精確至小數第5位,所求為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Use series to evaluate the

 

 

解答:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Evaluate the  as an infinite series.

 

 

 

解答:

,故

可知

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  練習題

 

1.    的麥克勞林級數,並證明對所有,它可表示

 

 解答:

     方法(1):

     

     

     

     

   

                     

     

     

     ,同理

     因為 ,所以

     

     所以

     因此由泰勒定理可得,對所有,它可表示

 

 

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