18.1空間平面方程式

 

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18-1 空間平面方程式 ( Equation of Planes in Space )                           

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1.      不共線的相異三點

(A)      幾何方法求平面方程式:
令平面上的任意一點的座標為

mso984E4

代入前式,則可得平面方程式

 

 

 

 

(B)      代數方法求平面方程式

設平面方程式為

三點的座標代入平面方程式,可得

聯立求出

 

 

 

 

2.      且法向量為的平面方程式

 

 

  

 

3.點到平面的距離

a.設平面通過點,且單位法向量為,若點到平面的距離為,則

b.到平面的距離為



             

 

   

 

1.     求取通過下面三點的平面方程式

解答:

已知 P:   Q: ,得  

已知 P:   R: ,得     

平面之垂直向量為   

代入平面方程式     

                         

                            

 

 

 

2.     Find an equation of the plane containing  that is perpendicular to the line of intersection of  and  

 

解答:

1.     先求兩平面之交線:

相加: ,得    

取參數:           

2.     得直線平行向量

 

3.     依題意,平面垂直向量為

 

4.     代入平面方程式:

 

 

 

 

3.     Find the point  on the given plane , that is close to the point A(2,0,–1), and the shortest distance.

解答:

    已知平面方程式為 ,故其垂直向量為

     

    A(2,0,–1)點至平面之最短距離為向量至垂直向量上之投影量,即

          

    而,因為平行,故

   

     

      得

     

     

     

       聯立解,得

     

        故 點座標為A點到平面的距離為D #

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Find  an equation of the plane, if the plane through the point  and perpendicular to the vector .

 

 

 

解答:

因平面垂直向量,所以平面法向量為

為平面上一點

平面方程式為   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Find  an equation of the plane, if the plane through the point  and with normal vector .

 

 

 

解答:

 為平面法向量

為平面上一點

平面方程式為   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Find  an equation of the plane, if the plane through the point ,, and

 

 

解答:

 

為平面上之向量

平面法向量

為平面上一點

平面方程式為   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Find an equation of the plane, if the plane through the origin and the point , and

 

解答:

 

為平面上之向量

 

平面法向量

為平面上一點

平面方程式為   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.  Find an equation of the plane that conatins ,

 

解答:

Direction vectors of the lines are  and,

平面法向量

為平面上一點

平面方程式為   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題:

1.   已知三維空間中有三點,求解

(a)         此三點所構成之平面方程式。

(b)        該平面方程式與 x-y平面之交線方程式?

(c)         該平面與x-y平面之交角?

 

解答:

(a) 已知三維空間中有三點

平面兩邊向量    

                       

平面垂直向量      

或化簡             

BP點,得平面方程式  

                    

(b)將平面x-y平面。聯立解得

該平面與 x-y平面之交線方程式為     

(c) 平面與x-y平面之交角為兩垂直向量之夾角

                  

 

 

 

【題型】求交線方程(Intersection of two plane)

 

2.   Given Points  and   in the space , please find

(a)         The normal vector of plane CDE(5%)

(b)        The equation, which is the perpendicular bisector of line AB. (5%)

(c)         The coordinate of piercing point M, where the line AB intersects the plane CDE. (5%)

 

解答:

   (a)向量               

  及                      

  垂直向量             

  或單位垂直向量   

  (b) 直線             

  平行方向             

  二等份之中點為   

  垂直直線 之平面方程式     

  或         

  (c)                     

  之方程式       

  CDE平面方程式 

  代入得                

  或                      

  交點得                

 

 

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