18.2空間直線方程式

 

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18-2 空間曲線方程式 ( Equation of Lines in Space )                    

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空間直線方程式

1.      直線通過空間中相異的兩點

令直線上的任意一點的座標為,由圖知

 → 

代入前式得

(1)      空間直線參數方程式

 或 

(2)      空間直線對稱方程式

 

 

 

2.      直線通過點及平行向量

令直線上的任意一點的座標

 → 

(1)      空間直線參數方程式

 或 

(2)      空間直線對稱方程式

 

 

 

3.      兩平面相交的直線方程式

 → 

故平行直線方向的向量為

再由聯立可求出直線上的任意一點,則

(1)      空間直線參數方程式

 或 

(2)      空間直線對稱方程式

 

  

 

4.直線的距離

a.    線外一點到直線的距離

未命名.JPG 

設直線通過點且平行向量(如圖),由於

               

1.      兩條歪斜線的距離

設直線通過而向量為,直線通過點而向量為,同時,則

 

   

1.     求通過點 與點 之直線參數式。

 

解答:

直線方程為

     

 

 

  

2.   Two lines  and  are given respectively by parametric equations:

    and

the parameters t and p vary over all real values. Please calculate the angle between these two lines.

 

解答:

  已知                 

  平行方向             

  已知                 

  平行方向             

  夾角                   

 

  

 

3.     L 為下列二平面之交線:,試求A  L 之最短距離

 

解答:

  二平面之交線:

  聯立解得     

  平行方向     

  令 

     

     

     

  

 

 

4.     Find the distance between the two straight lines:  and , where t is a parameter.

 

 

解答:

兩直線之平行向量  

第一條直線上任取一點

第二條直線上任取一點

                         

叉積                     

平行線間最短距離為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Find parametric equations and symmetric equations for the line, which is through the points  and   

 

 

 

解答:

為線上一點

parametric equation:

symmetric equation:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Find parametric equations and symmetric equations for the line, which is through  and perpendicular to both  and .

 

 

 

解答:

 

為平面上一點

parametric equation:

symmetric equation:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Find parametric equations and symmetric equations for the line, which is intersection of the planes  and

 

解答:

 滿足  

直線方向向量為

為線上一點

 

parametric equation:

symmetric equation:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Find distance from the point  to the line

 

解答:

代入可得

代入可得

,

距離

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Determine whether the lines  and  are parallel, or intersecting. If they intersect, find the point of intersection.

    ;

 

 

解答:

方向向量為

方向向量為

,所以平行

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題

5.     (15%) Two straight lines,  and  , in space are defined as the following .  is the line passing through points  and and  is the line passing through points  and . Find the minimum distance between   and

 

解答:

  (P Q )上平行向量 

   A B 上平行向量 

     

  歪斜線間最短距離:

     

 

 

  

6.     設直線通過,直線通過,請找出直線間最短垂直距離。

 

【解答】:直線通過

參數方程式       

上式中分母為0者,分子也須為0,即得直線參數方程式

                       

直線通過之直線參數方程式為

參數方程式         

上式中分母為0者,分子也須為0,即得直線參數方程式

     

最短距離為       

 

 

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