18.3弧長

 

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18-3 弧長                         

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1. 空間曲線之位置向量

 已知空間曲線方程式(Space Curve)方程式,如下:

                                   為參數。

 

 

若將上面三個卡氏座標分量組合成一向量,則可得一個單變數之位置向量(Position Vector

                                 

                                 

上式為一個單變數之向量函數(Vector-Valued Function)

 

 

 

 

2.空間曲線長(Arc Length)之向量形式

已知位置向量(Position Vector),如下

                                 

                                 

取全微分量,得微曲線段

除以,得                

利用畢氏定理,得     

  

其中為空中曲線之微曲線段。

 

已知曲線長(Arc Length)之計算公式:    

表成向量形式,得

 

 

1.     Please find a parametric position vector representation of the curve

解答:

已知   

,其中 為參數。

  位置向量為

                              

 

  

2.   Find the arc length of a helix , where  is a constant.

(a)  (b)   (c)  (d) None

 

解答:(c)

  利用曲線長計算公式 

  已知曲線                   

  其中                        

  代入上式得              

 

 

 

3. Find the length of the following curve  from  to

 

解答:

  利用曲線長計算公式

  已知曲線   

  其中   

  代入上式得 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Find the length of the curve,

 

解答:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.    Find the length of the curve , .

 

 

 

解答:

, for

為平面上一點

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Find the length of the curve , .

 

 

 

解答:

, for

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Find the length of the curve , .

 

 

 

解答:

, for

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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