19.1多變數函數

 

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19-1 多變數函數 (Functions of several variables)                     

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雙變數函數 (Functions of two variables)

雙變數函數的實數值函數意指一函數

將一平面之某集合內的每一序對指定一唯一實數

集合稱為這些函數的定義域(domain),

表示為

    

  

一函數的值域(range)就是所有值的集合,

稱為自變數(independent variables),

稱為應變數(dependent variables)。

 

 

 

1.      平面上,描述的自然定義域。

 

 解答:

為了使有意義,

    1)分母不能為0

    2)根式有意義:

因此定義域,如圖所示。

 

 

 

   

2.      Find the domain and range of

為了使有意義,

     即使根式有意義

     因此

    定義域(Domain): 。(如圖所示)

 

    值域(range)

       

    所以值域:

 

 

 

圖形:

一個含有雙變數函數之圖形,指方程式的圖形,這種圖形通常為一曲面,定義域內每一點對應一值,每一條垂直線最多交曲面於一點。(如圖所示)

 

    

3.      描繪之圖形。

 

 解答:

 

為一以原點為球心,半徑為3的上半部球面。(如圖所示)

 

 

 

4.      的定義域。

 

 解答:

     定義域

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Let , (a) Evaluate, (b)Find the domain of .

 

 

 

解答:

(a)

(b) exponential function are defined everywhere,  is defined for all choices of values for  and .

Domain of  is .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Find the domain of the function .

 

 

 

解答:

, or  

Domain of  is

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Find the domain of the function

 

解答:

     

  

Domain=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.  Describe the level surface of the function

 

解答:

 is a family of parallel planes with normal vector

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Describe how the graph of  is obtained from the graph of

(a)  ,  (b)  , (c)

 

 

解答:

(a)    The graph of  is the graph of  shifted upward 2 units.

(b)    The graph of  is the graph of  stretched vertically by a factor of 2.

(c)    The graph of  is the graph of  reflected about the plane.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

練習題

1.     平面上,描述的自然定義域。

 

 解答:

     為了使有意義,

     符合自然對數有意義:

     因此自然定義域,如圖所示。

 

 

 

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