19.2雙變數函數之極限和連續

 

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19-2 雙變數函數之極限和連續  (Limits and Continuity)              

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的定義:

意指任給,則必存在一個

使得若,則

且滿足的點是指除圓心外,且在半徑為之圓內的點。

   

 

  

1.      Show that  does not exist.

 

 解答:

函數除了原點外,在平面上每一點皆有定義,

    1,因此沿軸方向趨近

        

    2,因此沿軸方向趨近

        

     以不同趨近的路徑導出不同的值,因此極限不存在。

 

 

 

 

定義:  連續性

在定義域中每一點{  in D }

若滿足,則稱在點連續。

 

 

 

2.      Where is the function  continuous?

 

 

解答:

   因為函數在無定義,所以函數是不連續

   函數連續的定義域D為:

   

  

  

3.      Evaluate

解答:

  因為為一多項式,在每一點皆為連續, 

  所以可以用直接代入法求函數極限值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.   Find , if it exists, or show that the limit does not exist.

 

 

 

解答:

因為為多項式

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Find , if it exists, or show that the limit does not exist.

 

 

 

解答:

, for , 所以

, for , 所以

因極限不同所以極限不存在

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Find , if it exists, or show that the limit does not exist.

 

 

 

解答:

我們使用夾擠定理表示

 ,  as

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Find , if it exists, or show that the limit does not exist.

 

 

 

解答:

, for ,

所以當 沿著軸方向,

但是, for ,

所以當 沿著直線,

因此極限不存在

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題:

1.      Determine the set of points at which the function  is continuous.

 

 

 

 

解答:

,

且在任何地方連續

時連續

因此函數連續

在平面上方連續

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

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