19.3偏導函數

 

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19-3 偏導函數 (Partial Derivatives)                  

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為含有雙變數的函數,偏導函數

定義為:

 

 

 

 

Notations for partial derivatives

假如

 

 

 

 

1.      ,求

 

 解答:

    求,將視為常數,對微分,

   

   

    ,將視為常數,對微分,

   

   

 

 

 

2.      ,求

 

 解答:

    ;(將視為常數,對微分)

    。(將視為常數,對微分)

 

  

 

 

幾何意義:

如圖,考慮的曲面(藍色部份),平面交此曲面於曲線

的值表示曲線上切線的斜率。

同理,平面交此曲面於曲線

的值表示曲線上切線的斜率。

      

 

 

 

  

高階偏導函數

含有之函數的偏導函數亦為一函數,

所以它可以對偏微分,得到四種的二階偏導函數:

 

  

 

3.      四種二階偏導函數

 

 解答:

   

   

   

   

   

   

 

 

   

 

類似地,我們可定義出第三階或更高階的偏導函數。

為一含有雙變數的函數,則三階偏導函數可逐步對微分可得。

例如

三階偏導函數共有八種:

 

三變數函數之偏微分定義:

 

 

  

4.      ,求

 

 解答:  

     ;(將視為常數,對微分)

     ;(將視為常數,對微分)

     。(將視為常數,對微分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Find the first partial derivatives of .

 

 

 

解答:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Find the first partial derivatives of .

 

 

 

解答:

, ,         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Find  and  if  is defined implicitly as a function of  and  by the equation .

 

 

 

解答:

   

,

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.  Find  and , (a) , (b)

 

解答:

(a)  

(b) , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.  Find the second partial derivatives of .

 

 

 

解答:

, ,  

, ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

練習題

1.      函數若滿足稱為調和函數(harmonic function),證明為調和函數

 

解答:

    

     

     滿足,所以為調和函數。

 

 

 

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