19.5方向導數與梯度

 

首頁
19.1多變數函數
19.2雙變數函數之極限和連續
19.3偏導函數
19.4連鎖律
19.5方向導數與梯度

 

 

19-5 方向導數與梯度(Directional derivatives and the gradient vector)       

  講義          教學影音檔    進階題-題目    進階題 答案    考古題-題目    考古 題答案

 

梯度向量(Gradient Vector )

a. 假如為雙變數函數,則梯度向量函數(Gradient Vector )

b. 假如為三變數函數,則梯度向量函數(Gradient Vector )

 

  

 

方向導數(Directional derivatives)

1.      定義:

(1)      為包含點及其鄰近區域的函數,即沿著單位向量方向(如圖)的方向導數定義成

P1010698_1.JPG

 

 

 

2.      定理:

(1)      函數為包含點及其鄰域的函數,且點為點鄰域中任意的一點,同時函數在點處,函數及其一階偏導數均為連續,則沿著方向的方向導數為

 

 

 

  

3.      基本性質:

設曲面為純量函數,為曲面上的一點

P1010698_1.JPG因 

(1)      在方向為

時,

此時方向導數為最大值。

(2)      在方向為

時,

此時方向導數為最小值。

 

 

1.    ,求沿向量方向的方向導數。

 

 解答:

方向的單位向量

因此

故方向導數

對三個變數以上的函數亦成立。

 

  

2.    ,求沿向量方向的方向導數。

 

解答:

方向的單位向量

因此

故方向導數

 

   

3.   已知一球體的球心在原點,在的溫度函數為,於點沿哪個方向溫度增加最快?

 

解答:

因此於點,沿著的方向,溫度增加最快。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Find the directional derivative of function  at the point , and the angle  

 

 

 

解答:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. If ,, then (a) find the gradient of , (b) evaluate the gradient at the point .

 

 

 

解答:

(a)

(b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Find the directional derivative of the function  at the point  in the direction of the vector .

 

 

 

解答:

,

之單位向量為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Find the maximum rate of change of function  at the point  and the direction in which it occurs.

 

 

 

解答:

, is the direction of maximum rate of change and the maximum rate is

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Find all points at which the direction of fastest change of the function  is .

 

 

 

解答:

The direction of fastest change is

we need to find all the points  where  is parallel to

so    and

then,    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 練習題:

1. 有一隻螞蟻位於雙曲拋物面上點處,牠應以何方向爬會
   
最陡?牠起始的斜率為何?

 

解答:

因此在點,沿著的方向爬會最陡,起始斜率為

首頁 | 19.1多變數函數 | 19.2雙變數函數之極限和連續 | 19.3偏導函數 | 19.4連鎖律 | 19.5方向導數與梯度