20.1切平面與近似值

 

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20-2極大值與極小值

 

                                               

20-1 切平面與近似值 (Tangent planes and approximations)                      

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一曲面的切平面表示法,

如圖,考慮此曲面上過點的一曲線

為此曲線的參數式,則

由連鎖法則可得

因此 

切於曲線垂直於此點的切線

 

 

定義

切平面(tangent plane):與曲面相交於一點,且與過點法向量垂直。

法線(normal line):通過切平面上一點且與法向量平行

 

 

 

定理A

1)已知曲面,則在點的切平面方程式為

    

    

2)已知曲面,則在點的切平面方程式為

    

3)在點的法線方程式為

                 

 

 

1.      在點的切平面方程式

 

 

 解答:

    

     

     切平面方程式為

     

     

  

 

2.      在點的切平面方程式

 

 

 解答:

      , 

     

     切平面方程式為

     

     

     

 

 

定義:

線性近似值(Linearization, Standard linear approximation )

為曲面上之ㄧ定點,

點上的切平面方程式為

線性可微分方程式: 

線性近似(Standard linear approximation) 

 

定義

為一可微分函數,且令為變數,為應變數的微分,亦稱為的全微分,而可定義為

,則可代表的近似值,

愈小,則愈近似的值。

 

                          

 

 

3.      ,試計算,此時變化至

 

 

解答:

    

     

         

         

     

         

         

 

  

4.      ,試計算,此時變化至

 

 

解答:

    

     

          

         

     

          

         

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Find the plane tangent to the surface  at .

 

 

Solution :

        Let

            

        For pint

            

        The tangent plane is

       

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find the plane tangent to the surface  at .

 

 

Solution :

        Let

            

        For point

            

        The tangent plane is

        =0

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      A curve , , . Find the tangent line and normal plane at point .

 

 

Solution :

        For point

       

       

       

        The Tangent line is ,

        The normal plane is

          .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find the approximate value of .

 

 

Solution :

        Let , and observe that .

        Let  and .

          

       

        Using  as an approximation to , we have

         .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Estimate how much the value of  will change if the point  moves  unit from  straight toward .

 

 

Solution :

        The unit vector from  to  is

         

            

        Let

            

       

        Therefore, the change  in  that results from moving  unit away from  in the di

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題

1.    在點的切平面方程式

 

解答:

     令

     

     切平面方程式為

 

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