20-2極大值與極小值

 

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20-2 極大值與極小值 (Maximum and minimum values)                       

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自由極值

1.   變數函數之自由極值

(a)   必要條件︰            

      得                              ,解得臨界點

(b)   充分條件︰             ,圖形為凹向上,故為相對極小值

                                  ,圖形為凹向下,故為相對極大值

  

       雙變數函數之自由極值

(a)   必要條件︰            

                                  聯立解

      得臨界點                    

(b)  充分條件︰                    判別式

        為相對極小值

        為相對極大值

                                       為鞍點

                                        無法判定

  

1.     Find the local extreme value of the function for

解答:

1.     必要條件:

 

     1. ,不合。

        2.

2.     判別式    

相對極小值。

 

2.     Consider the function . Find values for and  so that (a)  is a local minimum (b)  is a local maximum (c)  is a saddle.

 

解答:

 

1.

     

  

2.  

(a) is a local minimum

     

(b) is a local maximum

     

(b) is a saddle point

 

 

3.     Find the local maximum and minimum values and saddle points of  

 

解答:

1.

     

    得  

     

      (1)

      (2)

      (3)

 

2.  

      (1) ,鞍點

      (2)

,相對極小

      (3)

,相對極小

 

4.     的極小值是     

 

解答:

1.

    

       得  

 

2.  

      ,相對極小

      極小值

  

 

Lagrange Method (單條件)雙變數

1.     雙變數函數含一個拘束條件(Constrains)

       已知 滿足拘束條件 下,其極值求法如下︰

 

1.   修正函數

2.   必要條件︰全微分為

聯立解得

 

  

2.     三變數函數含一個拘束條件(Constrains)

      已知 滿足拘束條件 下,其極值求法如下︰

 

1.     修正函數

2.     必要條件︰全微分為

聯立解得

  

5.     The maximum values of   on the ellipse  is       

 

解答:

   利用Lagrange method

      令修正函數  

      必要條件:

     

     

     

      (1) ,得

      (2) ,得,得

      亦即臨界點  

      充要條件:比函數值大小

     

     

     

     

      最大值為1

  

Lagrange Method (雙條件)

 

6.     Find the maximum and minimum values of  on the ellipse that is the intersection of the cylinder  and the plane .

 

解答:

修正函數得         

            

            

            

           

          

代入      

已知比較得       

代入           

第一個解為         

函數值為              為極大值。

第二個解為         

      函數值為           為極小值。

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Find the extrema of the function .

 

 

Solution :

          

        ,  have solution

              

        For ,  and

        Therefore  is the minimum.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      A rectangular box without a top is to have a given volume. How should the box be made so as to use the least amount of material ?

 

 

Solution :

        Let  designate the volume of the box. Hence, if the base of the box is  by  units and the altitude is  units, then

                 .

        The surface area  of the box is given by .

        We can expess  in the form

                 .

        We want to find the minimum value of .

           have solution

        For ,  and .

        Therefore  is a minimum.

        We have  , and therefore we conclude that the box should

        Have a square base and an altitude half the length of the base.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.       on the rectangular plate , . Find the absolute maximum and minimum of function .

 

 

Solution :

         have solution .

        For ,   and .

        Therefore,  is a maximum.

        For boundary point,

        .

        We can find the absolute maximum is  at  and absolute minimum is

         at , , , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.  Find the maximum value of the function  on .

 

 

Solution :

        Let   

       

       

       

        We can find , .

        Therefore, the maximum is .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. The plane  cuts the cylinder  in an ellipse. Find the points on the ellipse that lie closest to and farthest from the origin.

 

 

Solution :

        We want to find the extrema of  subject to the

        constraints , .

        Let

       

       

       

       

       

        We can solve

        if ,  and

        if ,  and .

        Therefore, the points on the ellipse closest to the origin are  and

        The point on the ellipse farthest from the origin is .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 練習題:

1.    求函數,在限制下的極大值和極小值

 

解答:

        令

聯立解

可解得

得極大值為

    極小值為

 

2.的局部極小值

 

 解答:

給定函數在整個定義域可微分,因此唯一可能的臨界點就是平穩點,

,代入,可得

得平穩點為 

1)點,得為鞍點。;

2)點

       為局部極小值

3)點

       為局部極小值

  

3.條件下,求的極大值及極小值

 

 解答:

 

聯立解

,代入

可得臨界點

極大值:

極小值:

結論:

       【1】例題為一含有雙變數的限制極值問題

       【2】若一含有三個變數的一個條件限制一個條件極值問題,也是類似的作法(練習題1);

        【3】若一含有三個變數的兩個限制條件()極值問題,

          則必須解聯立方程式

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