21.1雙重積分

 

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21-1 雙重積分(Double Integrals)                   

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定義雙重Riemann定積分

其幾何意義為曲面以下,平面以上,封閉區域以內,所圍體積。

 

現將區域分成個小區域,設其各小面積符號為,並假設在小面積內每一點的函數為一常數值,即

 

文字方塊:

 

 

 

              

 

 

如此塊小面積,所圍之體積為

 

上式當值逐漸増到無限大時,每一個小面積會逐漸趨近於零,表為一微面積,或其邊長由微與微所組成,亦即。當為一分段連續函數,則上式極限值會存在,則在區域內之雙重積分表示成

欲計算上次雙重積分值,可利用兩次單重積分,疊積分而得。

亦即曲面以下,平面以上,封閉區域以內,所圍體積為

可先沿軸切片而得,其中微長條所切下之微面積,可由之單重積分求得

代入雙重積分式得

        

同理,也可先沿軸切片而得,其中微長條所切下之微面積,可由之單重積分求得

 

代入雙重積分式得

          

上述所得疊積分只要連續函數,其積分值應與積分次序無關。

內項積分式,可直接利用單重定積分積出其答案者,稱之為可直接積分型。

 

 

定理

在長方形中連續,則

 

 

 

 

 

定理

對由有限個單調連續曲線包圍之封閉區域內連續函數之二重積分,其疊積分

 or

 

  

 

 

1.      求多重積分  

解答:

 

先對直接積分

                                                 

再對積分  

                          

  

2.      ,其中為由在第一象限所圍區域。

 

解答:

 

        依題意         

先對直接積分 

再對積分              

                             

 

  

3.      ,試求之值。

 

解答:

     

依題意               

先對直接積分  

                               

再對積分             

                             

 

        

 

  

 

4.      ,及,求二重積分

 

解答:

     

依題意           

先對直接積分

再對積分        

                         

  

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Find .

 

 

Solution :

        

                      

                      

                       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Find .

 

 

Solution :

       

                        .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find .

 

 

Solution :

       

                      

                      

                       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Calculate , where  is the triangle in xy-plane bounded by the x-axis, the line , and the line .

 

 

Solution :

       

                    .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find .

 

 

Solution :

       

                      

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

練習題:

1.

 

解答:

 

先對直接積分 

       

再對積分         

                         

 

 

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