21.3極座標雙重積分

 

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21-3 極座標雙重積分(Double Integrals in Polar Coordinates)                       

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已知已知雙重定積分式

上式中函數內含有項,即

            

而且無法直接對積分,此時可利用極座標轉換,令

      

消去變數,得

此時微面積轉換公式如

            

            

定義Jacobian因子定義式

                 

 

 

 代回原雙重積分式,得

            

上式內項積分式,可直接利用單重定積分積出其答案者,則稱之為極座標轉換型。

 

此種雙重積分,當積分區域R為圓形區域()或扇形區域者,也可利用極座標轉換式如下:

 

                                         

1.     

 

解答:

      利用極座標轉換

 

 

                                          

                                           

         

 

       

 

  

2.      其中

 

解答:

      利用極座標轉換,令       

  

      依題意    

                      

                                    

                                    

                                    

                  

 

 

3.     

 

解答:

利用極座標轉換   

   

    

    

    

               

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.  Find the area enclosed by the lemniscates .

 

 

Solution :

       

         

          .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      Find .

 

 

Solution :

       

     

      

      .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Evaluate , where : , , .

 

 

Solution :

       

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find .

 

 

Solution :

       

     

     

      .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find .

 

 

Solution :

       

     

     

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題:

1.

 

解答:

 

利用極座標轉換   

   

 

     

                                     

                                      

                                     

                                     

                                     

            

 

 

2.求兩重積分,其中為座標平面上x 軸與所圍成的半圓盤。

 

解答:

 

利用極座標轉換   

   

      

 

 

 

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