21.4任意雙重積分

 

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21-4 任意雙重積分                        

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已知已知雙重定積分式

              

無法直接對積分,此時可利用原積分式之特性,令任意座標轉換,即令

,及

將上式化成uv之雙重積分式

 

此兩式之轉換率計算步驟,介紹如下:

1. 首先設定新舊變數間關係式。

,及

              

2. 接著新變數之微分取代舊變數之微分。

              取代

3. 新變數之積分項內再乘上一Jacobian因子。

Jacobian因子定義      

 

 

4. 最後重新設定新變數之積分上下限(須同一積分區域)。

代回原雙重積分式,得新變換式如下:

 

1.      之值,其中R為由點  and 所圍成之梯形

 

解答:

令變數變換    

             

Jacobian     

已知             

代回原積分式       

                    

  積分得       

 

  

2.      其中Let的區域邊界為所圍成。

 

解答:

令變數變換 

         

Jacobian 

 

 

        已知

                                                                   

               

 

  

3.      其中 是由四條曲線所圍成在第一象限的區域

 

解答:

令變數變換 

         

Jacobian 

 

        已知

                  

            

 

                    

  

 

 

 

 

 

 

 

4.  Evaluate .

 

 

Solution :

        Let ,

        Then .

       

       

     

      .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      Find , where  is the region enclosed by  and x-axis, y-axis

 

 

Solution :

        Let   

        Then   

       

         .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Evaluate , where  is the region enclosed by

   , , .

 

 

Solution :

        Let   

        Then

       

       

       

     

       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Evaluate , where is the rectangular region with vertices    .

 

 

Solution :

        Let     ,    

        Then   

       

       

      .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

練習題:

1.      所包圍的區域。

 

解答:

 

令變數變換       

               

Jacobian      

 

代回原積分式   

                                                              

                                                              

                                                              

                 

 

 

2.      求橢圓形所圍成的面積

 

解答:

 

題意所求           

令變數變換       

Jacobian         

 

代回原積分式       

 

 

 

 

 

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