22.1雙重積分之應用

 

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22-1 雙重積分之應用                     

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                一、平面積

 

1. 卡式座標

(1)  求兩條曲線(,)間所圍面積

 

      依雙重積分概念列出面積積分計算式:

                                          

           其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,

           代入得計算式

                                           

 

(2)  求兩條曲線(,)間所圍面積

 

      依雙重積分概念列出面積積分計算式:

                                           

             其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,

             代入得計算式

                                           

 

2.  極座標

 

(1)  求一條曲線所圍面積

 

      依雙重積分概念列出面積積分計算式:

                                           

             其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,

              代入得計算式

                                           

 

(2)  求兩條曲線(,)間所圍面積

 

      依雙重積分概念列出面積積分計算式:

                                           

             其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,

              代入得計算式

                                           

 

 

                              

  

二、曲面積(Surface area)

 

(1)空間曲面(SurfaceS,其方程式為

          其面積分式為

                               

         (2)為定義在空間取面S之函數,且S上之單位法向量,

              則向量函數的面積分:

        

            

 

 

                   

        代回原曲面積分式,得

                                                   

 

                    若曲面  

        其中                         

         代入得                 

 

         同理,投影至微平面積,得

                                         

         同理,投影至微平面積,得

                                         

 

 

通式:

若令

代入得曲面積     

顯函數:

 

若已知曲面顯函數方程式:

                         

代入曲面積         

代入得                 

 

 

 

1.     

 

   

解答:所圍的區域

 

  

 

 

    為了方便計算我們也可以把所圍範圍描述成

 

所求面積為

          =

                      =

                      =

=

 

 

 

 

 

2.      求兩條曲線所圍區域的面積

 

解答:

     首先先求的交點

所求面積為

          

 

3.      求兩條曲線所圍成的面積。

 

解答:

     首先先求的交點

所求面積為

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.      Find

 

解:

 

               

               

               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.       Find

 

解:

 

          

          

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      ; S is the region between  and

 

解:

 

                 

                 

                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Solid in the first octant bounded by the surface  and the coordinate planes

 

 

 

解:

依題意圖形為

                   

利用變數變換

               

利用半角公式

           

           

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.       write an iterated integral with the order of integration interchanged

 

 

解:

 

根據題意可將定義域畫出

並將函數改寫為    

因此積分式可改寫為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Find the area of the indicated surface which is the part of the sphere  inside the circular cylinder ,

where

解:

 

根據題意將第一象限的圖形畫出

代入曲面公式

 

 ;

因為有8個象限,因此必需將上式結果乘上8

利用變數變換轉換成極座標

    

    

    

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 練習題:

1.

 

 

解答:

所圍的區域

利用極座標轉換,令

            

所圍面積範圍

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.在範圍的曲面積。

 

解答: 

    

     所圍的區域

 

  曲面積公式

      代入得:

  

 

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