22.2三重積分及應用

 

首頁
22.1雙重積分之應用
22.2三重積分及應用

 

 

22-2 三重積分及應用                       

一、    講義               教學影音檔    進階題-題目     進階題 答案     考古題-題目     考古題答案

                

  三重積分(Triple Integrals

  由 21-1雙重積分定義中可知

  其中

  同理,若將此定義延伸,可得

三重積分定義式為

其中為連續函數且在封閉區域以內。

 

 

  體積分通式:

                         

  

 

  

  體積分之計算有下列三種題型:

 

1.      卡氏直接積分

 

    其中為一連續的函數,且被定義在的區域

   

            

 

說明:

  已知雙重平面積分式

                

  推廣至三變數連續函數,之三重體積分,定義如下

               

  若先對積分,即

               

  再利用雙重積分之技巧,列出積分上下限,如

               

  上式可直接由內而外依序利用單重積分求出積分值者,稱之為可直接三重積分

 

  

2.      圓柱座標

 

說明:

  已知三變數連續函數,之三重體積分式如下

                       

  上式無法直接由內而外依序利用單重積分求出積分值者,但三變數連續函數中只

  含 有  項者,

  則可利用圓柱座標轉換,令球座標三軸為,定義如下:

  其中             

  消去變數,得

               

 

  三變數之座標轉換率,Jacobian因子定義式如下:

 

               

 

 

  代入圓柱座標,得Jacobian值為

               

  或

                                  

 

  最後代入原三重積分式,得

                  

  上式可直接由內而外依序利用單重積分求出積分值者,稱之為可圓柱座標轉換三重積分型。

 

  

3.      轉換球座標積分

 

說明:   

  已知三變數連續函數,之三重體積分式如下

               

 上式無法直接由內而外依序利用單重積分求出積分值者,但三變數連續函數中只含有

  項者,

  則可利用球座標轉換,令球座標三軸為,定義如下:

  其中

為從原點到任意空間中定點P之距離。

(同極座標之)為從軸與半徑平面投影之夾角。

軸到半徑之夾角,故得空間中幾何關係為

               

  得         

  消去變數,得

 

               

 

  三變數之座標轉換率,Jacobian因子定義式如下:

 

               

 

  代入球座標,得Jacobian值為

                

 

 

  或

       

 

  最後代入原三重積分式,得

                   

  上式可直接由內而外依序利用單重積分求出積分值者,稱之為可球座標轉換三重積分型。

  上半球之積分範圍:

  整個球之積分範圍:

    

1.     

 

解答:

直接積分得            

              

  

2.      求三重積分

解答:

  直接積分得   

                                                 

                                           

                                                     

                                                     

                                                        

 

3.     

 

解答:

  對直接積分

=

   =

  令極座標變換              

  代入                              

=

                                                               =

  令三角變換                  

  得     

 

  

4.     

 

解答:

 

  先對直接積分

               

  極座標轉換                 

  代入

  得     

  

5.      Calculate

解答: 令球座標轉換 

 

      

 

        

       

       

       

6.      Find the volume of the solid in the first octant bounded by  and  by using triple iterated integrals

 

 

 

解:

 

根據題意將圖形畫出

 

寫出體積積分式,並判斷各變數之上下限

      

        

        

        

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      將三重積分  改寫為  找出上下限

 

 

 

解:

 

根據題意我們可以先將定義域畫出

再根據定義域來改寫題目所規定的積分順序

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Consider the solid in the first octant cut off from the square cylinder with sides ,,, and  by the plane .

       Find its volume.

 

 

解:

 

根據題意將圖形以及交點求出

 

 

         

           

           

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.      Suppose that the random variables  have joint PDF  ,

      find (a)  (b)  (c)

 

解:

 

(a)

      

       

       

       

       

       

       

(b)

       

               

               

               

               

               

 

 

(c)

            

                

                

                

                

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 練習題:

1.      求由兩圓柱之共同部份體積。

 

解答:

 

 

已知空間曲面            

由於對稱性取     

雙重積分求體積:

體積公式                    

代入得              

積分區域為                

代入上式得                    

積分得                            

 

2.      為一圓錐體

 

解答:

 

  令球座標轉換       

                        

  求交線

  解聯立得        

  又                    

  得         

                 

                                                          

  得             

 

 

首頁 | 22.1雙重積分之應用 | 22.2三重積分及應用