23.1梯度

 

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23-1 梯度(Gradient )                      

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偏微運算子

 

1.      定義

(1)      稱作

(2)      具有向量特性

(3)      偏微分運算子特性

後面可以對純量函數作運算,也可對向量函數作向量運算,如:

,稱之為梯度(Gradient

,稱之為散度(Divergence

,稱之為旋度(Curl

  

()微分定義:(Differential)

1.   單變數函數之全微分

     已知差分(Increment)

 

      故上式可表成           

 

2.     雙變數函數之全微分(Total Differential of z):

      之差分(Increment of z, or Increments of x and y)或增量定義:

                              

     依此類推,對多變數函數 ,其全微分為

                              

  

   梯度之基本運算規則:

1.             ,則

2.             ,其中,則

3.             ,其中,則

         

4.             ,則

         

 

5.             ,則

          (1)  (2)  (3)

 

  

      已知連續可微分之多變數純量函數   ,其梯度之計算定義如下式:

     

      根據上述定義,有關梯度之各種運算特性整理如下:

1.  ,其中,則

   【證明】

  已知                     

  已知梯度定義         

  利用全微分            

  分別除以,則分別可得

                            

     代入梯度得  

全微分與梯度關係

                            

 

 

2. ,其中,則

           

  【證明】

 已知                     

 由梯度定義            

 利用全微分            

 分別除以或直接將取代

 得證                       

  

全微分與梯度關係

 

 

3. ,則

           

  【證明】

 已知                     

 全微分                  

 化成點積形式表示  

 其中                     

 微分                     

 代入得                  

 

4. ,則

            (1)  (2)  (3)

  【證明】

  (1)

  已知                     

  依梯度定義知         

  其中                     

                            

  及                         

  代入得                  

  (2)

  依散度定義            

  代入得                  

  (2)

  依旋度定義            

  代入得                  

   

1.     Given . Find

解答:

(1)

     

(2)

(3)

(4)

(5)

     

  

 

2.     Let  be a constant vector and . Evaluate (1)  (2)

解答:

已知                        

大小為                     

已知                        

利用微分公式           

代入,得

                              

(b) 已知常數向量    

則點積             

依梯度定義

   

                           

 

 

3.     Let . Evaluate

解答:

   已知梯度微分公式     

   令              

   代入得                

   又已知     

4.      Find the tangent plane of  at

 

解:

 

      

The tangent hyperplane

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      Show that  

 

 

 

解:

 

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Show that

 

解:

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.      Find the most general function  satisfying

 

解:

 

 ,

               對所有y的函數

                  對所有x的函數

               對任意屬於實數的C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Find the directional derivative of  at  in the direction toward

 

解:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 練習題:

1. If  is the position vector of some space point and consider a differentiable scalar function where is  function of  only. Evaluate

解答:

     

     

     

 

 

 

 

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