23.3旋度與Laplacian運算子

 

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23.3旋度與Laplacian運算子

 

  

23-3 旋度與Laplacian運算子                  

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旋度(Curl

  已知                           為可微分函數

1.旋度定義與計算:

                                 

  或                             

  展開得

       

  

 

2.旋度之物理意義:

 

  1.     圓周運動:

  考慮一旋轉之圓盤,轉速為

  則在圓盤上任一點P,其位置向量處之速度向量為

                                 

  或

 

 

2. 圓盤轉速:即為旋度

  若已知圓盤之任一點P處之速度場,為

  則此圓盤之轉速為

                                 

 

 

 

3.定義:非旋場(Irrotational field

  ,則稱,稱為非旋場(Irrotational  

  field),又稱保守力場(Conservative Field)。

 

  

1.     Compute the curl of the vector

解答:

  已知                        

  代入旋度定義           

 

  

Laplacian 運算子

  Laplace 運算子定義   

                              

  定義:Laplace方程式

  ,則稱Laplace方程式。

  其中函數稱為諧和函數(Harmonic Function)

 

 

2.     ,請證明

解答:

  先求梯度     

  再取散度

 

3.     Let vector and .   

 Find for

解答:

  依定義                     

  其中梯度                 

  代入                        

                                                             

                                                              

4.      Let  be a scalar field and  is a vector field. Indicate which of the following are scalar fields, vector fields, or meaningless. (a)(b)(c)

 

解:

 

(a) vector field

(b) vector field

(c) vector field

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      Show that

 

解:

 

   

因此

   

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Let, Evaluate (a)   (b)

 

解:

 

    (a)

          

    (b)

           為零運算子其結果為0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.       

 

解:

 

      

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 練習題:

1. u is a scalar field and  is the Laplacian operator. Evaluate  for

解答:

  已知                        

  代入                        

 

  

2.計算,其中                  

         

解答:

  依定義                     

  其中梯度                 

  代入                        

  其中                        

  代入得                     

  整理得                     

 

 

3.函數是否為諧和函數(Harmonic Function ?

 

解答:

  已知                 

  則                    

故函數為諧和函數。

 

 

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