2.1   極限定義

 

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2.1   極限定義
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2-1 極限定義                                   

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極限之數學定義( Cauchy  Definition of a Limits)

   『對,使內所有,恆使成立,則稱』。其中

 

   For each there exists a such that if then , calles , where 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      Use the  definition of limit to prove

解答:

定義中,對每一個         

整理                                            

左右兩邊同除於5                   

又已知                                      

為使成立,取         

得對每一個                     >0

故得證。

 

 

2.    函數為連續,即對所有,求必須為何者時,使得若,則 

解答:

定義中,對每一個     成立

整理                     

取指數                   

減一                     

與此式比較               

要設定值(愈小愈好)   

如此得對每一個      

故得證。

 

 

 

3.      Use the  definition of limit to prove

解答:

定義中,對每一個         

整理                                            

左右兩邊平方                          

                        

又已知                                      

                                                  

                          

比較

  比較不等式左邊得   

             

                      ----------------(1)      

                 

比較不等式左邊得  

                   

                       --------------(2)

比較(1)(2)取較小者

             所以    .     

 

 

 

  

4.      Use the  definition of limit to prove

解答:

  定義中,對每一個         

整理                                            

左右兩邊平方                          

                        

                        

又已知                                      

                                                  

                比較

   比較不等式左邊得   

               ----------------(1)      

 或                  

 比較不等式左邊得  

                       --------------(2)

 比較(1)(2)取較小者

             所以    .     

 

 

 

 

5. , a point  and . Find . Then find a number  such that for all x.

 

解答:

定義中,對每一個         

整理                                            

又已知                                     

                                                  

                         

                      比較

   比較不等式左邊得   

               ----------------(1)      

 或                 

 比較不等式左邊得  

                       --------------(2)

 比較(1)(2)

             所以    .     

 

 

 

 

 

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