2.3  有理函數之極限

 

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2-3 有理函數之極限

 

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1.        多項式函數極限之基本定理

,則

2.      有理式函數之極限之基本定理:

存在,則,且。(即分母之極限值不為0

【分析】有理式函數之求法:

(1)    分母之極限值不為0,則利用極限之基本定理,得

(2)    若分母之極限值為0,且分子之極限值不為0,此極限為不存在。即

(3)    若分母之極限值為0,且分子之極限值也為0,此為不定型極限。需進一步利用其他定理求。

本節先介紹分解因式法(僅適用於有理式函數),待介紹完微分公式之後,再介紹羅必達法則求此類型極限。

 

【常用型之有理式函數極限值的計算法】分解因式法

因式定理                       ,則

常用分解因式公式      

                                      

                                      

 

 

 

 

 

 

1.    (A) 1 (B)  (C)  (D)

解答:(B)  

【觀念分析】此為不定型極限,故採用消去公因式法解

分母先分解因式     原式=

分子也須有因式,因此可利用除法可得

                                 原式=

消去公因式        原式=

 

2.      已知,求之值為 (A)  (B)  (C)  (D)

解答:(A)

此為不定型極限         分母已為0,得分子也須為0

得第一個方程式                 ,或

利用羅必達法則,得        

或得第二個方程式            

聯立解,得                         ,及

 

3.      ,滿足,求之值

 

解答:

已知                                    

微分                                    

已知                                    

上式為不定型極限     分母已為0,得分子也須為0,亦即

得第一個方程式                

利用羅必達法則,得        

得第二個方程式                

已知                                    

上式為不定型極限     分母已為0,得分子也須為0,亦即

得第三個方程式                

利用羅必達法則,得        

得第四個方程式                

聯立解,得                        

 

 

 

4.      Find

解答: 

  函數為一有理式

  定義域(Domain)為

 

   因此 

          

          

           

           

 

 

 

5.      Find

解答: 

  函數,當時函數無法求解

  分子因式分解

分子與分母有共同公因式,可以約分

   因此 

          

          

           

 

 

 

 

6.      Find

解答: 

  函數,當時函數無法求解

分子因式分解

 分子與分母有共同公因式,可以約分

    因此 

           

          

          

 

 

  

7.      Find

解答: 

  函數

  時函數為之不定型,無法求解

  分子與分母因式分解

  分子與分母有共同公因式,可以約分

   因此 

         

         

          

 

 

 

8.      Find

解答: 

  函數

  時函數為之不定型,無法求解

分子與分母因式分解

分子與分母有共同公因式,可以約分

   因此 

          

            

            

 

 

 

 

9.      Find

解答: 

  函數

  時函數為之不定型,無法求解

  分子與分母因式分解

  分子與分母有共同公因式,可以約分

  因此 

         

        

        

 

 

   

10.  Find

解答: 

  函數

  時函數為之不定型,無法求解

  分子先展開計算整理

  分子因式分解

  分子與分母有共同公因式,可以約分

   因此 

         

          

          

 

 

 

 

 

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