6.1分段微分

 

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6-1分段微分                           

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單邊導數定義

 

已知導數定義

 

右導數定義

 

左導數定義:

 

 

 

 

 

1.      函數(A)  (B)  (C)  (D) 不存在。

 

 

解答:(D) 不存在。

 

導數定義   

 

右導數       

 

左導數       

 

            不存在

 

 

 

   

2.      ,在處,下列何者正確? (A) 不連續且不可微分 (B) 連續且可微分(C) 不連續且可微分 (D) 連續且不可微分

 

 

解答:(D) 連續且不可微分。

 

   先求極限               

   右極限                   

   左極限                   

   依連續的定義知    滿足。

   再討論導數的定義   

   先求右導數           

   再求左導數          

 

                             不存在。

 

 

 

 

 

3.      對函數處而言,下列判斷何者正確? (A) 可微分 (B) 連續但不可微分 (C) 極限存在但不連續 (D) 極限不存在

 

 

解答:(B) 連續但不可微分。

    先化成分段定義函數   

    左右極限                 

    導數定義                

    右導數                    

    左導數                    

 

                                 連續但不可微分

 

 

 

 

 

4.      函數,求 (A)  (B)  (C)  (D) 以上皆非。

 

 

解答:(C)

  先化成分段定義函數     

  分段微分                      

  再討論分界點             

最後得               

 

 

 

 

 

5.   若,試求(A)  (B)  (C)  (D)

解答:(C)

   已知函數              

                             

   第一項                  

   微分                      

          

 

   第二項微分          

 

          

 

   代入原式              

 

                             

 

 

 

6.       ,其中[ ]為高斯符號,則 (A) (B) 不存在 (C) 2 (D) -1

 

解答:(A)

 

     根據導數定義

     單邊的右導數

     單邊的左導數

     因左右導數求得的值一樣

 

     得

 

 

  

 

 

7.      ,其中[ ]為高斯符號,則 (A) (B) 不存在 (C) 2 (D) -1

 

解答:(B)

 

     右極限

     左極限

     因左極限不等於右極限 因此  不存在

     根據連續定義  不存在,故不連續

      不存在

 

 

 

 

8.      函數   ,試求(A) 1 (B) (C) 0 (D) 不存在

 

解答:(D)

 

     分段函數

     分段微分

     在的左導數為

     右導數為

     因左右導數不相同因此不存在

 

 

 

9.      令函數 ,試求 (A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 不存在

 

解答:(B)

 

     根據導數定義

     因 

     當   上式 同乘  各別取極限

                 由夾擠定理得

              右導數

      當   上式 同乘  各別取極限

                由夾擠定理得

              左導數

 

      因左右導數相同,故

10.      請判斷 點上是否可微分?

 

解答:

 

     將函數 分段定義

     依導數定義

     右導數

     左導數

     故  不存在

 

 

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