7.3相對極直

 

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7-3 相對極值                           

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定義:

(1)    若函數之附近某一區間

   且滿足對於所有

 

                     

 

   則稱為函數之相對極大值

 

(2)    若函數之附近某一區間

   且滿足對於所有

 

                     

 

   則稱為函數之相對極小值

 

  

設函數在區間上可微,

為一相對極值,則

無定義,則稱為函數臨界點(critical point)

 

為了判別臨界點為相對極大或相對極小值,主要可使用下列兩種方法判別:

(1) 一階導函數判別法:

 

為函數的臨界點且存在使得

(i) 

    為一相對極大值。

(ii)

    為一相對極小值。

(iii) 附近若同號不可能為相對極值

       

                                                  

                                                        

                                        

           c                                               c          

 

 

 

 

 

(2) 二階導函數判別法:

 

   為函數的臨界點,若

 

 

(i)  ,則為相對極小值

(ii) ,則為相對極大值

 

 

 

 

 

 

   

1.      求出函數的臨界點

 

解答:

 

此函數對所有實數皆有定義,其導函數

臨界數發生在

               

             

                 

        故當

        為函數的臨界點

 

 

 

  

2.      求函數的臨界點

 

解答:

                     

   為了求臨界點,

                         

                         

                        

   原函數在有定義為函數的臨界

   也必須考慮無定義的情況下,由導函數

                     

   看出在無定義但是原函數在也是無定義

   3不是臨界點。

   函數的臨界

 

 

  

 

3.      求函數的相對極值點

 

解答: 無相對極值點

   就函數來說

                     

   為了求臨界點,

                         

                        

   原函數在有定義為函數的臨界數

   利用一階導函數判別法找出的鄰近兩點

 

  

   

 

           0

 

 

           +

           0

             +

 

           2

 

 

 

 

 

  

  

   

 

導函數的正負符號並沒改變不為相對極大點或相對極小點

 

 

 

 

4.      求函數之臨界點並利用一階導函數判別法求其相對極大極小值

 

解答:為一相對極小值,為一相對極大值。

   就函數

      

   為了求臨界點,則

                        

   原函數在有定義為函數的臨界點

   利用一階導函數判別法

 

-1

 

1

 

+

0

-

0

+

0

-4

            

      

           

     

   為一相對極小值

     為一相對極大值。

 

 

 

  

5.   求函數之臨界點並利用二階導函數判別法求其相對極大極小值

 

解答:為一相對極小值,為一相對極大值。

 

   就函數

                     

   為了求臨界數

                         

                        

   原函數在有定義為函數的臨界數

   利用二階導函數判別法

 

                     

 

   因為,故為相對極小值。

  ,故為相對極大值。

 

 

 

6.        use the First Derivative Test and the Second Derivative Test to decide which of the critical points give a local maximum and which give a local minimum .

 

解答:

 

    

     Critical point: 0 , 4

    ononon

   

     Local min at

     Local max at

 

 

 

 

7.       use the First Derivative Test and the Second Derivative Test to decide which of the critical points give a local maximum and which give a local minimum.

 

解答:

 

    

     Critical point: 0

    on on

    the Second Derivative Test fails

     Local min at

     No local max

 

  

 

 

8.        ,試求之相對極小值 (A)  (B)  (C)  (D)

解答:(A)

     將函數微分得         

     臨界點               ,得

     在  時      ,  

     得相對極大值     

     在  時     ,  

     得相對極小值     

 

 

  

9.      ,  find the critical points and use the test of your choice to decide which critical points give a local max or local min.

 

解答:

 

      does not exist at  

     but does not exist at that point either

     No critical points

     No local min or max

 

 

 

 

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