7.4反曲點

 

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7-4 反曲點                                  

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有一函數

(1)    ,則的圖形在開口向 上凹

 

(2)    ,則的圖形在開口向 下凹

 

 

 

 

定義

之正負符號在點附近變號即可以找到

滿足          

            

則稱之反曲點(inflection point)

 

 

 

由上述定義知:

(1)    之反曲點,則之圖形在附近由開口向上凹變為開口向  

   下凹,或由開口向下凹變為開口向上凹。

(2)    之反曲點且存在

(3)    為反曲點,但可能不存在

 

 

 

 

 

1.      有一函數之反曲點。

 

解答:

 

      函數

             

             

      反曲點發生在無定義時

              

      之反曲點

 

 

 

 

 

 

2.      決定函數的圖形在何處為向下凹,又在何處為向上凹,並之反曲點。

 

解答:

      函數

        

        

       反曲點發生在無定義時

        

 

2

 

-

0

+

2

   

 

     

 

曲線的凹向性由向下變為向上

         之反曲點

 

 

  

  

  

3.      設函數求出之反曲點並討論在何處為向下凹,又在何處為向上凹

 

解答:

      函數

        

        

     反曲點發生在無定義時

           

      無定義時原函數存在

      之反曲點

 

 

 

 

4.       求,反曲點的x座標 (A) (B)  (C) 2 (D) 5 .

 

解答:(A)

 

     微分             

     二次微分         

     臨界點發生在         

     因      所以    有反曲點

 

 

 

 

5.      若函數曲線,在點為反曲點,則常數a b的值為何?

 

解答:

 

     微分             

     二次微分         

     由題意可知       

     解聯立               

 

 

 

 

6.      已知  (A) 沒有反曲點 (B) 有反曲點 (C) 有反曲點 (D) 2個反曲點.

 

解答:(D)

     微分              

     二次微分         

     臨界點發生在   不存在時,可求得     

     因      所以  及  為反曲點

 

 

 

 

7.      為三次多項式,其圖形與x軸有三個交點,分為a,b,c,則圖形的反曲點的x座標為何?

 

解答:

 

     假設三次多項式函數為

     微分             

     二次微分         

     臨界點發生在  時,可求得    

     因     所以  為反曲點

 

 

 

 

 

 

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