7.5絕對極值

 

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7.5絕對極值

 

    

7-5  絕對極值                        

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定義:

 

   函數定義在閉區間中,

 

(1)    若對所有滿足

 

                     

 

   則稱為函數在區間中之絕對極大值

 

(2)    若對所有滿足

 

                     

 

   則稱為函數在區間中之絕對極小值

 

 

 

(1)    函數的絕對極大值發生在函數有相對極大值之處或在區間的端點

 

(2)    函數的絕對極小值發生在函數有相對極小值之處或在區間的端點

 

 

 

 

 

1.      求出函數在區間的絕對極值。

 

解答:

             就函數來說

                     

          為了求臨界數

                         

                        

          原函數在有定義為函數的臨界數

          將端點及臨界點之值求出

                       

             

             

故此函數處有絕對極大值為

故此函數處有絕對極小值為

 

 

 

 

 

2.      設函數在區間的最大值和最小值。

 

解答:

             就函數來說

                     

          為了求臨界數

                         

                        

          原函數在有定義為函數的臨界數

          將端點及臨界點之值求出

                       

             

             

             

故此函數處有絕對極大值為

故此函數處有絕對極小值為

 

 

 

 

 

 

3.      函數在區間的最大值和最小值。

 

解答:

             就函數來說

                     

          為了求臨界數

                         

                        

          但因為因此我們不考慮

          原函數在有定義為函數的臨界數

          將端點及臨界點之值求出

             

              

             

故此函數處有絕對極大值為

故此函數處有絕對極小值為

 

 

 

 

4.       ,在上有最小值為 (A) 1 (B) 3 (C)  (D) 以上皆非

 

解答:(B)

 

          微分                      

          令  得臨界點

          因 所以二次微分    函數圖形為凹向上

          故 為最小值

 

 

  

 

5.      求函數,在區間中的絕對極大值(Absolute max)  (A) (B) 2 (C) 1 (D) 0   。

 

解答:(A)

 

          微分                     

          令  得臨界點 以及端點,

          比較函數值, ,

          故為極大值

 

 

 

 

6.      ,若m,M分別表示函數的最小值及最大值,則m,M的值為何?

 

解答:

 

          微分                     

          令  得臨界點 

          比較函數值,

          故為最大值  為最小值

 

 

 

 

7.      試求 ,在 區間內的絕對極小值 (A) 0 (B) -1 (C)  (D)

解答:(C)

 

          微分                     

          令  得臨界點 以及端點,

          比較函數值, ,

          故為最小值

 

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