8.1漸進線

 

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8-1 漸近線                                         

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已知一函數 ,其漸近線之求法如下:

 

1.      垂直漸近線:(Vertical Asymptotes)

,且滿足,則為垂直漸近線。

 

2.      水平漸近線:(Horizontal Asymptotes)

(1) 滿足,則為水平漸近線。

(2) 再求,則為水平漸近線。

【分析】若為水平漸近線,則右邊就沒有斜漸近線。

為水平漸近線,則左邊就沒有斜漸近線。 

  

3.      斜漸近線:

假設斜漸近線之方程式為     

(1)   先求左斜漸近線:(若沒有右水平漸近線的話)

利用斜漸近線之特性

(i) 時,函數,會趨近於斜漸近線

                    

或分子分母同除

                 

得計算式              

(ii) 時,函數斜漸近線之差會趨近於0

                  

移項得計算式                      

得斜漸近線         

 

(2)再求右斜漸近線:(若沒有左水平漸近線的話)

    同理

(i) 計算式              

(ii) 計算式             

 

得斜漸近線         

  

 

1.      ,試求函數的水平漸近線 ? (A)   (B)    (C)   (D)  

 

解答:(C) 

 

        

       為水平漸近線。

 

 

2.      求函數之圖形的水平漸進線

 

解答:

 

        

       為水平漸近線。

  

 

3.      求函數之圖形的垂直漸進線

 

解答:

 

       時,

      

       為垂直漸近線。

 

 

4.      曲線,則是否有漸近線?

 

        

       為水平漸近線。

       時,

      

       為垂直漸近線。

      

   

5. 求曲線的漸近線。

 

解答:斜漸近線   

 

           曲線                    

     設斜漸近線之方程式為       

     時,函數,會趨近於斜漸近線

           

            時,函數斜漸近線之差會趨近於0

                              

            移項得計算式                      

                       

              得斜漸近線         

 

6.      求 函數之垂直漸近線

 

解答:垂直漸近線為

 

            因 and

            故垂直漸近線為

 

7.      試求函數 之水平與垂直漸近線

 

解答: 水平:垂直:

   

           因  and 

           故水平漸近線為

 

             又  and 

             故垂直漸近線為

 

 

8.      函數 找出函數之水平與垂直漸近線

 

解答:  

          因  and 

           故水平漸近線為

 

           又對所有

          所以沒有垂直漸近線 

 

9.      The line is called an oblique asymptote to the graph of  if either  or . Find the oblique asymptote for  

 

解答:

 

          

            因此

            The oblique asymptote is

 

 

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