8.4曲線圖形之繪製

 

首頁
8.1漸進線
8.2 切線方程式
8.3 法線方程式
8.4曲線圖形之繪製

 

                  

8-4 曲線圖形之繪製                    

  講義              教學影音檔         進階題-題目        進階題-答案         考古題-題目      考古題-答案

 

一、求定義域

二、對稱性

                                             偶函數(左右對稱)

                                            奇函數(原點對稱)

三、週期性

                                          週期函數(只繪一週期)

   

四、漸近線

 

    1. 垂直漸近線:(Vertical Asymptotes)

      令,,且滿足,則為垂直漸近線。

 

    2. 水平漸近線:(Horizontal Asymptotes)

(1) 滿足,則為水平漸近線。

(2) 再求,則為水平漸近線。

【分析】

為水平漸近線,則右邊就沒有斜漸近線。

為水平漸近線,則左邊就沒有斜漸近線。

 

3. 斜漸近線:

假設斜漸近線之方程式為       

(1)先求左斜漸近線:(若沒有右水平漸近線的話)

利用斜漸近線之特性

(i) 時,函數,會趨近於斜漸近線

亦即                  

或分子分母同除 ,得

得計算式             

(ii) 時,函數斜漸近線之差會趨近於0

亦即                

移項,得計算式        

得斜漸近線         

(2)再求左斜漸近線:(若沒有左水平漸近線的話)

同理

(i)計算式                

(ii)計算式                   

得斜漸近線             

 

 

五、臨界點

(1)  

(2) 不存在

  (3)

  (4) 不存在

 

六、區間特性

  (1)  增函數

  (2) 減函數

  (3)  凹向上

  (4) 凹向下

 

七、描圖

 

1.    分析函數的圖形

 

解答:   

1. 將此函數因式分解

         故得截距為

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 2.

         所以的臨界數為

的臨界點為

  

 

 


 

       

 

 

 

 

 

3.

         所以的反曲數為 

的臨界點為 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 4. 判斷區間特性檢測的值如下表所示

 

區間

圖形特性

 

遞增、凹向下

0

相對極大值

 

遞減、凹向下

0

反曲點

 

遞減、凹向上

0

相對極小值

 

遞增、凹向上

 

 

2.    若函數,則對於函數圖形之敘述,下列何者為錯誤?

(A)        之極小值為

(B)        之反曲點。

(C)        間為增函數。

(D)        間為凹向下。

 

解答:( C )    

 

將函數一次微分         

  臨界點                  

將函數二次微分         

  臨界點                  

  

區間

圖形特性

 

遞減、凹向上

10

0

0

反曲點

 

遞減、凹向下

0

反曲點

 

遞減、凹向上

0

相對極小值

 

遞增、凹向上

 

描圖

  

                 

3.      已知函數 ,則關於的圖形,則下列那一項之敘述是正確的?(A) 的圖形對稱於原點 (B) 有水平漸近線  (C)  有反曲點  (D) 有相對極大值

 

解答:(D) 有相對極大值

  

1 令分母為0為垂直漸近線。

                       

  得斜漸近線         

2. 已知                      

  函數一次微分       

                             

  得 臨界點             

                   ,相對極大值

                     ,相對極小值

3. 函數二次微分      

   

區間

圖形特性

 

 

遞增、凹向下

0

0

相對極大值

 

 

遞減、凹向下

不存在

不存在

不存在

垂直漸近線

 

 

遞減、凹向上

8

0

相對極小值

 

 

遞增、凹向上

 

         描圖

 

                 

 

 

4.      找出函數之遞增與遞減區間

 

解答:

   

   

 

區間

 

-

-

-

-

遞減on

-

-

+

+

遞增on

+

-

+

-

遞減on

+

+

+

+

遞增on

                               

 

 

5.       討論此函數的凹性反曲點與局部極值

 

解答:

   

   

   

 

    Let

    的臨界點為

   

    是局部極小值

    又 for  and also for

    所以時無極值

 

區間

凹性

 

+

凹向上

-

凹向下

+

凹向上

 

    因為在點凹性改變所以為反曲點

                                                      

 

 

6.      (a) 找出遞增與遞減區間,(b)找出局部極大與極小值 (c)找出凹性區間(d)描繪出此圖形。

 

解答:

    (a)

  so  是遞增且在是遞減

      

    (b)  是局部極小值

 

    (c)

     or

區間

凹性

 

+

+

+

凹向上

-

+

-

凹向下

 

 

-

-

+

凹向上

 

 

-

+

-

凹向下

 

 

+

+

+

凹向上

    (d)

 

                                   

 

 

7.       (a) 找出遞增與遞減區間,(b)找出局部極大與極小值(c)找出凹性區間(d)描繪出此圖形。

 

解答:

(a) for all

     and  when or

 所以是遞增

      

(b) 無極值

 

(c)

    所以是凹向上

    是凹向下

(d)

 

                               

 

 

 

 

首頁 | 8.1漸進線 | 8.2 切線方程式 | 8.3 法線方程式 | 8.4曲線圖形之繪製